ENCYCLOPEDIE -DE--LA--LANGUE -FRANCAISE
	-------ABAQUE-------------
		CALCUL
			INDE

1) Introduction

2) Sur le chemin de la numération écrite

 

 




 

 

Introduction




Comme partout ailleurs, avant de découvrir la numération de position, les Indiens ont utilisé des moyens plus archaïques: calcul sur les doigts, mais surtout une sorte d'abaque à colonnes qui se lisait de la même manière que celui des grecs et des romains, à savoir: unités, dizaine, centaines, etc..., sauf que, contrairement à eux, les indiens employèrent leurs neuf premiers chiffres (le zéro n'était pas encore trouvé) de leur notation numérique originelle. Ils les traçaient sur du sable fin ou de la poussière au moyen d'une pointe, les inscrivant un à un dans la colonne de l'unité correspondante. Lorsqu'une unité manquait, on laissait bien sûr, la colonne vide. La méthode d'opérer passait par l'inscription de tous les calculs intermédiaires, effaçant à chaque fois ceux qui avaient permis d'arriver à une nouvelle étape. Il fallait, vous vous en douterez, connaître comme nous par cœur les tables dites "de Pythagore", qui donnent les résultats des quatre opérations élémentaires sur les neuf chiffres de base.

 




Sur le chemin de la numération écrite



Comme chaque colonne de l'abaque représentait une puissance de dix, il n'y avait pas de limites à la grandeur des nombres, négatifs ou positifs. Il suffisait de tracer autant de colonnes qu'il fallait d'unités pour représenter le nombre. Cette remarque permet de comprendre que la numération possédait déjà une structure efficace, étant déjà le reflet de la représentation sur l'abaque: c'est un embryon du principe de la position décimale des chiffres. Ainsi on écrivait 7629:

Notons au passage que la relation très étroite ainsi établie entre la représentation des nombres sur l’abaque et la numération sanskrite permet de saisir par la même occasion la véritable raison d’être de l'inversion du sens d’énonciation opéré dès avant le IIe siècle av. J-C sur les expressions numériques au moyen des noms des nombres de la langue sanskrite. Tandis que les chiffres se succédaient, de gauche à droite sur les colonnes de l’abaque dans l’ordre des puissances décroissantes de dix, on en était venu à les lire dans le sens opposé en partant dans l'ordre ascendant du chiffre des plus petites unités à celui des plus grandes. Compte tenu des conditions imposées par la nature même de ce dispositif de calcul, les arithméticiens indiens n’avaient d' ailleurs pas eu d’autre choix que d’adopter le sens d’énonciation des nombres et suivant "l'ankânâm vâ mato gatih", le fameux "principe du mouvement des chiffres de la droite vers la gauche". Comment, en effet, y placer correctement un grand nombre donné si la lecture avait débuté par les unités des ordres les plus élevés? A moins d’en déterminer à chaque fois l’emplacement exact en comptant les colonnes correspondantes à partir de celle des unités simples. D’où un gaspillage de temps et une tâche assez fastidieuse. Il n’existait donc pas, dans ces conditions, qu’un seul repère fixe: la colonne des unités simples, par laquelle il convenait de commencer.

 

On renonça donc dès lors à l’ancienne énonciation. En débutant par la plus grande puissance de dix, celle-ci donnait certes immédiatement au calculateur l’ordre de grandeur du nombre envisagé, mais elle ne facilitait pas et ne pouvait guère faciliter l’inscription, sur les colonnes de l’abaque, des chiffres successifs d’un nombre ayant plus de quatre ou cinq ordres d’unités.
C’est pourquoi on adopta désormais le sens inverse, dont l’avantage certain était de poser, sans se tromper, n importe quel nombre, aussi grand fût-il, sur ces colonnes, et de permettre à l’opérateur de suivre mentalement toutes les puissances successives de dix. Et c’est justement la même raison qui, plus tard, fera conserver ce sens d’énonciation lorsque sera inventée la notation positionnelle au moyen des symboles numériques.

 

Probablement préoccupés encore que les autres par le souci d’économie et par le
gain de temps et de place, certains arithméticiens indiens, effectuant des calculs portant sur des grands nombres, dont les résultats intermédiaires constituaient eux-mêmes des nombres très élevés, ont dû chercher à soulager leur mémoire, toujours susceptible d’être défaillante en de pareilles circonstances. Ils ont donc posé ces résultats sur des feuilles de brouillon. Et puisqu’il fallait faire également l’économie du support végétal, il s’agissait donc pour eux d’écrire plus vite et d’une manière encore plus abrégée qu’avec la notation sanskrite, même simplifiée. Et c'est là que l’on s’est aperçu que les neuf chiffres brâhmî pouvaient jouer dans ce cas
le rôle de la sténographie voulue.
Mais, compte tenu de la disposition des chiffres sur l’abaque, il convenait
de revenir cette fois au mouvement descendant, allant des plus grands ordres
d’unités jusqu’aux plus petits, afin de ne pas se brouiller dans les représentations chiffrées; pour les résultats des calculs effectués sur l’abaque, il convenait en effet d’obtenir sur les colonnes la même disposition des chiffres que cette notation destinée aux feuilles de brouillon.
Et c’est ainsi que le nombre en question reçut dès lors la notation suivante,
où les chiffres se succèdent de gauche à droite, clans l’ordre des puissances
décroissantes de dix, constituant ainsi la réplique fidèle, sans colonnes, de
la représentation correspondante sur l’abaque a poussière.

D’où la valeur de la position décimale qui fut désormais attachée aux
neuf premiers chiffres de la vieille notation venue du temps de l’empereur
Açoka ( ou Asoka ).

 

On peut dire, dans une rapide conclusion, que c'est la suppression des colonnes de l'abaque qui conduisit les savants indiens à découvrir le principe de la position des chiffres.






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