Si à 16 ans, il pense avoir prouvé la possibilité de résoudre par radicaux l'équation du 5ème degré, c'est à 19 ans qu'il reviendra sur son résultat en prouvant le contraire ! Abel démontre l'impossibilité, dans le cas général, de résoudre par radicaux une équation algébrique, équation polynomiale de la forme P(x) = 0, de degré 5.

Ce résultat, que Gauss, incrédule, refusa de lire, ne fut publié qu'en 1826 dans le journal de Crelle. On cherchait à l'établir depuis Bombelli avec les travaux de Lagrange, Gauss, Cauchy et Ruffini, utilisant certaines propriétés invariantes des fonctions symétriques des racines. Son contemporain Galois, développant la théorie des groupes de substitution, généralisera ces travaux à tout entier premier n > 4.

On doit à Abel (1825) la notion de nombre algébrique : solution (réelle ou complexe) d'une équation polynomiale à coefficients rationnels (ou entiers, cela revient au même).

Par exemple, le nombre 2 est algébrique car solution de l'équation polynomiale x² - 2 = 0.

En tant que nombre algébrique, on dira que le degré de √2 est 2 : c'est le degré du polynôme minimal (de plus bas degré) dont il est solution. Il en est de même du célèbre nombre complexe i puisqu'il est une solution de l'équation polynomiale x² + 1 = 0 ou encore de cos(p/7) puisque :

et il suffit de remplacer x par p/7 pour constater que cos(p/7) est solution de l'équation :

Plus généralement, en vertu de la formule de De Moivre (cos x + i.sin x)ⁿ, il en est de même de cos(p/n) et de sin(p/n) où n désigne un entier naturel.

Il fut prouvé respectivement en 1873 par Hermite et en 1882 par Lindemann que les nombres e (base des logarithmes népériens) et p ne sont pas algébriques. De tels nombres sont dits transcendants. Cette appellation est due à Liouville (1844), lequel mit "à jour" une première catégorie de tels nombres. On sait depuis Cantor qu'il en existe une infinité non dénombrable :

Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et dans lequel tout élément possède un symétrique. Un groupe est dit abélien ou commutatif si sa loi de composition est commutative.

Abel étudia les problèmes de convergence des séries entières et des séries de fonctions.

Abel mit en défaut (1826) le théorème de Cauchy, énoncé en 1821 dans son Cours d'analyse, selon lequel si les f_n sont continues au point x_o et si la série Sf_n(x) est convergente dans un voisinage V de x_o, alors la fonction limite f ainsi définie dans V est continue en x_o :

Soit Sa_nune série réelle ou complexe. On note R_n(m) la somme des termes des rangs n à m, m > n :

On voit que R_n(m) peut être réécrit sous la forme, transformation d'Abel :

La série Sa_nb_nest alors convergente (puisque son reste tend vers 0). Un cas particulier très pratique est le suivant :

soit Sa_nb_n une série numérique où (a_n) désigne une suite numérique positive décroissante et Sb_n une série (réelle ou complexe) dont les sommes partielles sont bornées : il existe k > 0, | b₀ + b₁ + ... . b_n | < k pour tout n. Alors les sommes partielles de Sa_nb_n sont aussi bornées et on a :

Si les sommes partielles de la série de terme général a_n (réel ou complexe) sont bornées et si (b_n) est une suite réelle positive décroissant vers 0, alors la série Sa_nb_n est convergente.

On suppose que f est une fonction positive, continue et décroissante vers 0 sur [a, + ∞[ et que l'intégrale de g sur tout intervalle [a,l], l > a , existe et est bornée. Dans ces conditions, l'intégrale :

est convergente (i.e. la limite, lorsque l tend vers + ∞, de l'intégrale sur [a,l] du produit fg existe et est finie).

Considérées comme l'œuvre maîtresse d'Abel (Recherches sur les fonctions elliptiques, 1826-27), l'étude de ces fonctions provient des premières tentatives de rectification de l'ellipse conduisant aux intégrales elliptiques, déjà étudiées par Lagrange et Legendre, et dont le calcul par quadrature, donc la recherche d'une primitive de l'intégrande (fonction à intégrer), est impossible exception faite des fonctions "usuelles" et des cas simples ramenant l'intégrande à une fonction dérivée.

Ces intégrales sont des fonctions de leur borne supérieure. Par analogie avec le cercle (fonctions circulaires), l'idée générale (et géniale) d'Abel, et de Jacobi la même année, fut de renverser le problème en étudiant leurs réciproques : les fonctions elliptiques. En se plaçant dans le plan complexe, il découvre une propriété étonnante de ces fonctions : leur double périodicité. Les travaux d'Abel, mort de la tuberculose à 27 ans, furent poursuivis par Jacobi et par tous les grands mathématiciens du 19è siècle comme Gudermann, Weierstrass, Gauss, Liouville, sans oublier Bouquet et Briot.

Abel généralisa l'étude des intégrales et des fonctions elliptiques à une classe d'intégrales dites abéliennes dont la forme générale peut s'écrire :

où F est une fonction rationnelle de x et y (polynôme ou quotient de deux polynômes en x et y), y étant lié à x par une équation algébrique j(x,y) = 0. Lorsque y est un radical de la forme √P(x) où P est un polynôme du 3ème ou 4ème degré, on retrouve les intégrales elliptiques. »

Définition : Une série est sommable au sens d'Abel si, lorsqu'on définit la série entière

alors cette série converge pour x dans [0,1[, et si f(x) admet une limite finie L quand x tend vers 1.

Prenons par exemple a_n=(-1)ⁿ. La série n'est pas convergente. En revanche, pour x dans [0,1[, on a

et ceci tend vers 1/2 si x tend vers 1. Ainsi, nous obtenons une série divergente, mais sommable au sens d'Abel.

En revanche, toute série convergente est aussi sommable au sens d'Abel, et les limites sont identiques : c'est le théorème d'Abel pour les séries entières.

Théorème d'Abel

Présentation

Soit une série entière de rayon de convergence R. Son comportement à l'intérieur du disque de convergence est très bon : on a convergence uniforme sur tous les compacts, la fonction est de classe C^infini. En revanche, sur le bord de ce disque, le cercle de centre O et de rayon R, des choses très différentes peuvent se produire, comme par exemple :

la série peut converger partout, comme
la série peut converger partout sauf en un point, comme
la série peut diverger partout, comme

Plus étonnant, même si la série converge en un point z₀ du bord, la fonction S n'est pas forcément continue en z₀...sauf si on limite l'angle d'approche!

Cas réel

Soit

une série entière de rayon de convergence R, on suppose que

converge. Alors S est continue sur [0,R].

On peut même démontrer que la série converge uniformément sur [0,R].

Cas complexe

Soit une série entière de rayon de convergence R, z₀ un point de C telle que |z₀|=R et la série converge en z₀, et Soit A l'ensemble

Alors S est continue sur la réunion de A et de {z₀}.

Ce théorème a la signification suivante : si z_n converge vers z₀ en restant dans un cône (non-tangentiellement), alors S(z_n) converge vers S(z₀). En revanche, il est tout à fait possible que si z tend vers z₀ sans rester dans un de ces cônes (on parle de convergence tangentielle), alors S(z) ne converge pas vers S(z₀).